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2023年普通高等学校招生考试模拟试题 数学(四) 本试卷共4页,22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={xy=-2x-3},B={xx≥a},若AUB=R,则实数a的最大值为 A.-3 B.3 C.-1 D.1 2.设复数g满足x(2一i)=1十i(b∈R),若2为纯虚数,则g= A.-i B.i C.-5i D.5i 3.已知tang=2,则cosa一 sin 2a 一的值为 tan(a+ B台 D一品 4.山东烟台某地种植的苹果按果径X(单位:mm)的大小分级,其中X∈(80,100]的苹果为特 级,且该地种植的苹果果径X一N(85,25),若在某一次采摘中,该地果农采摘了2万个苹果, 则其中特级苹果的个数约为(参考数据:若X一V(,a),则P(4一< X≤u十a)≈0.6827, P(4-2a< X≤4+2a)≈0.9545,P(u-3a< X≤4+3a)≈0.9973) A.3000 B.13654 C.16800 D.19946 5,数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的高阶等差数 列,其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列,如数列2,4,7,11,16,从第二项起,每一 项与前一项的差组成新数列2,3,4,5,新数列2,3,4,5为等差数列,则称数列2,4,7,11,16为 二阶等差数列,现有二阶等差数列{am},其前七项分别为2,2,3,5,8,12,17,则该数列的第20 项为 A.173 B.171 C.155 D.151 已知椭圆C:三十士=1(> > 0)的左、右焦点分别为F,F,A为左顶点,B为短轴的一个 端点,若BF,FF|,AF:构成等比数列,则椭圆C的离心率为 A方 B.1+E 3 C.1+22 4 D.+厘 8 7.已知点P在棱长为a的正方体ABCD一A,B,C,D,的外接球O的球面上,当△ACP的面积 最大时,过A,B,P三点的平面a截正方体各面所得截线的长度之和L的值为 A.(2+22)a B.(2十3)a C.(2+√4-22)a D.(2+/8-25)a 8.已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,圆M:(x一2)2十y2=9,过点F的直线1与圆M交于C,D 两点,交抛物线E于A,B两点,点A,C位于x轴上方,则满足AC=|BD的直线1的方程为 A.x=1 B.x=2 C.x-2y-2=0或x+2y-2=0 D.x=2或x-2y-2=0或x+2y-2=0 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题 目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。 9.下列结论错误的是 A.若ac2≥b2,则a≥b B.若sinA> sinB,则A> B C.若a> b> 0,c> cd> 0,则ac> bd D.若1m> 1n1-),则> 号 10.已知(x-1)(x十2)5=ao十a1x十agx2+…十arx2,则 A.a0=-64 B.a2=48 C.a1十a2十十a?=0 D.a+as+as+a;=1 11.已知函数f(x)=sin(wx+g)(w> 0,0< < 受)若f(-x)=-f(号+x)小且直线y=1 与函数f(x)的交点之间的最短距离为,则 A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)在(石,受)上单调递减 C.f(x)的图象关于直线x=一 对称 D.(x)的图象向右平移琴个单位长度后得到的函数为偶函数 12.已知函数f(x)=xe,G(x)=f(f(x))一af(x),则 A.当G(x)没有零点时,实数4的取值范围为(0,e÷) B.当G(x)恰有1个零点时,实数a的取值范围为(一∞,e宁) C.当G(x)恰有2个零点时,实数a的取值范围为(e÷}U(1,十o∞) D.当G(x)恰有3个零点时,实数a的取值范围为(e÷,1) 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.2022年8月16日,航天员的出舱主通道一问天实验舱气闸舱首次亮相.某高中为了解学 生对这一新闻的关注度,利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了36人进行问卷调 查,其中高一年级抽取了15人,高二年级抽取了12人,且高三年级共有学生900人,则该高 中的学生总数为 人 14.已知函数f(x)=5一x一3x,若f(a一1)十f(2a)≥10,则实数a的取值范围为 15.如图,在边长为2的正方形ABCD中,以C为圆心,1为半径的圆分别交CD,BC于点E,F, 16.中国有悠久的建筑文化,鲁班锁就是其中一种,鲁班锁的形状种类很多,其结构起源于中国 20,(本小题满分12分) 古代建筑的枰卯结构,利用了其拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,一 2022世界机器人大会在北京召开,来自各个领域的参展机器人给参观者带来了不同的高 般都是易拆难装,现有如图(1)的鲁班锁,其各个面是由正三角形与正八边形构成的,图(2) 科技体脸,现有A,B两种型号的小型家庭生活废品处理机器人,其工作程序依次分为三个步 是该鲁班锁的直观图,则该鲁班锁的各个面中为正三角形的面有 个,若该鲁班锁每 骤:分捡,归类,处理,每个步骤完成后进人下一步骤.若分捡步骤完成并且效能达到95%及以 条棱的长均为1,则该鲁班锁表而中为正八边形的面的而积之和为 .(本题第一空2 上,则该步骤得分为20分,若归类步骤完成并且效能达到95%及以上,则该步骤得分为30分, 分,第二空3分) 若处理步骤完成并且效能达到95%及以上,则该步骤得分为50分,若各步骤完成但效能没有 达到95%,则该步骤得分为0分,在第三个步骤完成后,机器人停止工作.现已知A款机器人完 成各步骤且效能达到95%及以上的概率依次为号·号,号·B款机器人完成各步聚且效能达到 95%及以上的概率均为,每款机器人完成每个步骤且效能是否达到95⅓及以上都相互独立。 图(1) 图(2) (1)求B款机器人只有一个步骤的效能达到95%及以上的概率: 四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (2)若准备在A,B两种型号的小型家庭生活废品处理机器人中选择一款机器人,从最后总 17.(本小题满分10分) 在正项数列{a,}中,a:=2a1=4,an+1aw十a+1a-1=2a&十2a,am-1(n≥2). 得分的期望角度来分析,你会选择哪一种型号? (1)求数列{an}的通项公式: (2)若b,=am-31|,求数列{b}的前n项和T. 21.(本小题满分12分) 18.(本小题满分12分) 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 已知点A(,5)在双曲线C号-卡=1a> 0,6> 0)上,且C的离心率为35,直线1交 在以下两个条件中任选一个:①bsin B一csin B=asin A一csin C:②2 asin B=btan A,并解 答下列问题. C的左支于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0. (1)求直线1的斜率: (1)求角A: (2)若△ABC的外接圆半径为√3,求△ABC面积的最大值. (2)若tan∠PAQ=享,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,求△AMN的面积. 注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分 19.(本小题满分12分) 22,(本小题满分12分) 如图,在正三棱台ABC-ABC中,AB=2A,B,=2,正三棱台的体积为E 已知函数f(x)=ln(x十1)一ae一x(a∈R) 61 (1)当a> 0时,证明:f(x)< 0恒成立: (1)求侧棱的长; (2)求直线AA,与平面BCCB:所成角的正弦值, (2)当a=0时,证明:(1+(1+2x)·…(1+nn+元en∈N).
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