2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛试题含答案

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）6.将所有非完全平方的正奇数与所有正偶数的立方从小到大排成一列（前
若干项依次为3,5,7,81山，13，…)，则该数列的第2023项的值为
答案：4095.
解：用a}表示题述数列.前2023个正奇数依次为1,35.，4045，其中恰
有2,3，…，63这32个完全平方数，而在小于4045的正整数中恰有2,4，…，14
这7个阀立方数.因此4045是a,}的第2023-32+7=1998项.
进而am=4m+2×25=4095(注意652> 4095且16> 4095).
7.设P-ABCD与Q-ABCD为两个正四棱惟，且∠PAQ=90°，点M在线
段AC上，且CM=3AM,将异面直线PM,QB所成的角记为8，则cosB的最大
可能值为
答案：
解：设正方形ABCD的中心为O,由条件知PQ垂直平面ABCD于点O,又
∠PAQ=90°，由射影定理知OP.OQ=O.显然0在P,Q之间.
以0为原点，OA,O成，O丽方向为x,八，：轴的正方向，建立空间直角坐标系，
不妨设4，Q,0,B0,L0,P0,0a以g00,-日a> 0.
易知M0小因此-a-小o-
PM-OB
所以cos0
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当a=5时，c0s0取到最大可能值。
8.七张标有A,B.C,D,E,F.G的正方形卡片构成下图，现逐一取走这些卡
片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如
可按DA,B,E,C,F,G的次序取走卡片，但不可按D,B,A,E,C,F,G的次序取走
卡片)，则取走这七张卡片的不同次序的数目为
解：如左下图重新标记原图中的七张卡片，现将每张卡片视为顶点，有公共
边的两张卡片所对应的顶点之间连一条边，得到一个七阶图，该图可视为右下图
中的m+n+2阶图G(m,n)在m=2,n=3时的特殊情况。
G(m.n)
取卡片（项点）的规则可解释为：
()若顶点P已取走，则以下每步取当前标号最小或最大的顶点，直至取完：
()若顶点P未取走，则必为某个G(m,n)(m,n≥0)的情形，此时若m=0,
则将P视为一1号顶点，归结为()的情形：若m≠0，n=0,则将P视为1号顶点。
归结为()的情形：若m,n≥1，则当前可取P或-m号顶点或n号顶点，分别归
结为(i)或G(m-1.n)或G(m.n-1)的情形
设G(m.)的符合要求的顶点选取次序数为f(m,m),本题所求即为f(2.3):
由(i)、()知f(m,0)=2(m≥0)，f(0,n)=2(n≥0)，且
fm,n)=2+、+f(m-1,)+f(m,n-)(m,n≥)
由此可依次计算得f1,)=12,f1,2)=(2,)=28，f1,3)=60,f(2,2)=72,
f(2,3)=164,即所求数目为164.
暨2023年全国高中数学联合竞赛
一试(B卷)参考答案及评分标准
说明：
1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档：其他各
题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷
时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第
10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次.
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分
1.函数y=log(x2-9x-10)的定义域为
答案：(-，-1)U10,+).
解：由x2-9x-10=(x+1x-10)> 0,解得x∈(-o,-1)U10,+∞).
2.若实数m满足2”=4F,则m的值为
答案：-1.
解：由于2”=4”=22r,故2”=2×4”，两边约去2”(0)得1=21
所以m=-1
有数鱼线r号-台-1a> 0的高心率为3则题线苦-号
的离心率为
答案：32
4
解：设c=匠+F,则工，的离心率6=的离心率6=分
因
公=1.由6=3知之-8，得6=5
e
4.设m为正整数。从l,2,,n中随机选出一个数a,若事件“2< √a≤4”
发生的概率为，则n的所有可能的值为】
答案：12和18.
解：注意到2< Va≤4，a为正整数，即a∈{5,6，…，16
根据条件，显然n≥5.
当5≤n≤16时，有？-4=2
=二，得m=12.
3
当n≥17时，有2_名，得m=18.
月3
综上，n的所有可能的值为12和18.
5.平面上五点A,B,C,DE满足AB=BC=CD,EEB=4,EB.EC=5,
ECED=8,则EAED的值为