湖南省永州市第一中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试卷含答案

永州一中2023年下期高二入学考试数学试卷
满分：150分
考试时间：120分钟
命题人：陈诗跃
审题人：魏善元
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1.设集合A={xx2-4x+3< 0,A={x2x-3> 0,则A∩B=
D.{< 3
2.已知平面a⊥平面B,则“直线m⊥平面《”是“直线m∥平面B”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.在梯形ABCD中，∠ABC=二，AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一
3
周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为
A.(5+2)π
B.(4+]π
C.(5+22)π
D.(3+2]
4已知ae（0,且v5cos2a=sima+
则sin2a
A.
B.> 
C.-1
D.1
5.在△ABC中，过重心E任作一直线分别交AB,AC于M,N两点，设AM=xAB,AN=yAC
(x> 0,y> 0),则4x+y的最小值是
A.
B.
10
C.3
D.2
6.已知三棱柱ABC-ABC的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为√B,AB=2,
AC=1,∠BAC=60°，则此球的表面积等于
A.8x
B.9x
C.10w
D.11x
7,已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则PA(PB+PC)的最小值为
A,-8
B.6
C.-4
D.-2
8.在空间直角坐标系O-z中，经过点P(x,%,26)且一个法向量为m=(a,b,c)的平面a的方程为
a(x-x,)+b(y-)+c(z-)=0,经过点P且一个方向向量为i=(4,,0(vw≠0)的直线1的方程为
-=业=二三.阅读上面材料并解决下面问愿：现给出平面口的方程为3x-5y+4z+1=0,直线
1的方程为=二=三，则直线！到平面a的距离为
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全
部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知复数2=1
，以下结论正确的是
1-i
A.:2@1是纯虚数
B.+=2
C.z…z=-1
D.在复平面内，复数：+z·i对应的点位于第三象限
10.已知△ABC中的两个内角的正切值为方程x2-5x+6=0的两个根，最长的边为3，则△ABC的
A.最小角为
B.最短边的中线长为√29
C.最长边上的高为2D.外接圆的半径为√0
11.下面四个结论正确的是
A.已知向量a=(9,4.4),b=(1,2,2),则a在万上的投影向量为(1,2,2)
B.若对空间中任意一点0，有Op-01+OB+0C,则P,A,B,C四点共面
C.已知{a,五，c是空间的一组基底，若m=a+c,则{a,五，m也是空间的一组基底
D.若直线1的方向向量为e=(1,0,3),平面α的法向量n=-2,0,三
则直线1上a
12.如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体ABCD-ABC,D的侧面ADDA上的一个动点（含边界），
P是棱CC的中点，则下列结论正确的是
D
A沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为
B
2
B.若保持制PM=万，则点M在侧面D04内运动路径的长度为写
C.三棱锥B-CMD的体积最大值为；
B
D.若点M在44上运动，则D到直线PM的距离的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.向量a=(x1,3),方=0，，l10,c=(2,-42,且a1c,/c,则2a+=
14.若k,k,…,k。的方差为4，则3(k-2),3(k-2),…,3(。-2)的方差为
15.若三个向量a=(2,32),b=(6m,7),c=(0,5,)共面，则实数m的值为
I6.在正方体ABCD-ABCD中，点P满足BP=xBA+yBC+zBD,且x+y+z=1,直线B,P与平面
ACD所成角为于，若二面角P-AD-B的大小为0，则an0的最大值是
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)在△ABC中，已知sin2A-sin2B-sin2C=sin BsinC.
(1)求A:
(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值：
18.(本小题满分12分)甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零部件是一
等品而乙机宋加工的零件不是一等品的概率是子，乙机床加工的零部件是一等品而丙机宋加工的零件
不是一等品的概率是立，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率是号
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率：
(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
19.(本小题满分12分)如图，在平行六面体ABCD-ABC,D中，∠AAD=∠AAB=∠BAD=60°，
D
C
AB=AD=2,AA=I,点P为线段BC中点，
(1)求DF:
(2)求直线AB与DP所成角的余弦值，
20,(本小题满分12分)如图，等腰梯形ABCD中，ABCD.AB=1,CD=3,AD=BC=5,AE⊥CD,沿AE
把△DEA折起成四棱锥D-ABCE,使得DB=2.