湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三下学期月考（八）数学试题+答案

长沙市一中2023届高三月考试卷（入）》
数学
时量：120分钟
满分：150分
注意事项：
1,答卷前，考生务必将自已的姓名，考生号，考杨号、座位号填写在客题卡上，
2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效，
3.考试结束后：将本试卷和签题生一并交回，
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.)
1.已知集合A={xx2< 2x},集合B={x|1og2(x一1)< 1}，则A∩B=
A{x|0< x< 3}
B.{x|1< x< 2}
C.{x|2≤x< 3}
D.{x|0< x< 2}
2.在复平面内，复数x与名对应的点关于虚轴对称，则x等于
A.1+i
B-1-i
C.1-i
D.-1+i
3.若双曲线C苦-片=1m> 0)的一条渐近线与x轴的夹角是受，则C的虚轴长属
A2
B.35
C.2
D.63
4.若(1十x)(1一2x)7=ao十a1x十az+十a4x2.则a1十ag十as十a,的值是
A.-1
B.-2
C.2
D.1
5.在△ABC中，“cosA+sinA=cosb+sinB"是“∠C=90"的
A充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6。长沙烈士公园西南小丘上兴建了烈士纪念塔，纪念为人民解放事业牺牲的湖南革命烈士，它是
公园的标志，为了测量纪念塔的实际高度，某同学设计了如下测量方案：在烈士纪念塔底座平
面的A点位置测得纪念塔顶端仰角的正切值为号，然后直线走了20m,抵达纪念塔底座平面B
点位置测得纪念塔顶端的仰角为.已知该同学沿直线行进的方向与他第一次望向烈士纪念
塔底端的方向所成角为，则该烈士纪念塔的高度约为
A.30 m
B.45m
C.60m
D.75m
7.已知点P(2,2),直线AB与抛物线C:y2=2x交于A、B两点，且直线PA,PB的倾斜角互补，
则直线AB的斜率为
A-号
B-含
C.-1
D.-2
&函数ga)-热青在区间[，十eo)EN~)止存在极值，侧：的最大值为
A.2
B.3
C.4
D.5
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)
9.已知a,b∈(0，十c∞)，=a时buu元√3a6,则
A.-
B1≥0
cs
n> 
10.数列{a,}首项a=23对切正整数n,都有a1=2-上，则
a
A数列是等卷数列
B对一切正整数n都有4n> 1
C存在正整数n,使得an=2a2
D.对任意小的正数e,存在%∈N,使得|a+1一an|< e(n> o)
11.已知直线l:x一y十2=0与x轴交于点A,点P在直线1上，圆C:(x一2)2+y2=2上有且仅
有二个点B满足AB⊥BP,则点P的横坐标的取值可以为
A方
B号
C.3
D.5
12.将2(n∈N”)个有编号的球随机放人2个不同的盒子中，已知每个球放人这2个盒字的可能
性相同，且每个盒子容纳球数不限，记2个盒子中最少的球数为X(0≤X≤n,X∈N”),则下
列说法中正确的有
A当n=1时，方差D)=号
B当m=2时，P(X=10=是
C,Mn⊙3,3∈[0，n(kn∈N"),使得P(X=)> P(X-k十1)成立
D当n确定时，期望E(X)=n(2-C2
2
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，）
13.函数f(x)的图象在区间(1,3)上连续不断，能说明“若f(x)在区间(1,3)上存在零点，则f1)
·f(3)< 0”为假命题的一个函数f(x)的解析式可以为f(x)=
14.若随机变量的数学期望和方差分别为E(),D(),则对于任意ε> 0，不等式P(E()
≥)< 22成立.在2023年湖南省高三九校联考中，数学科考试满分150分，某校高三共有
500名学生参加考试，全体学生的成绩E的期望E()=80,方差D()=4,则根据上述不等
式，可估计分数不低于100分的学生不超过
人
15,如图，在平面斜坐标系x0y中，∠xOy=60°，平面上任意一点P关于
斜坐标系的斜坐标这样定义：若OP=xe1十e2(其中e1,a分别是x
轴，y轴正方向的单位向量)，则P点的斜坐标为(x,y),向量O妒的斜
坐标为(x,y),OM=(3,1),ON=(1,3),则△OMN的面积为
00
16.正方体ABCD-A1BCD,的棱长为2，点E∈平面AA:BB,点F是线段AA1的中点，若
DE⊥CF,则当△EBC的面积取得最小值时，三棱锥E一BCC外接球的体积为
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分10分)
已知函数f代x)=2si血壹cos登+2w5cos受-5，x[-晋，]
(1已知fa)=号ae(-晋，)，求s血ai
(2)若不等式|f(x)一m≤3恒成立，求整数m的最大值。
18.(本小题满分12分)
设数列{a.}的前n项和为S.已知a4=1,2na,一2S,=r2一，n在N”.
(1)求证：数列(a.}是等差数列；
(2)令6-2会2求数列6.}的前n项和T
19.(本小题满分12分)
如图，在长方体ABCD-A,BCD中，点P是长方形A:BCD
内一点，∠APC是二面角A-PD1-C的平面角，
(1)证明：点P在A,C上；
(2)若AB=BC,求直线PA与平面PCD所成角的正弦的最大值.
0.(本小题满分12分)
(对于任意两个事件AB,者P心> 0，PB> 0,证男8-粉昌·爱懦，
(2)贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式
为：设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，AUAU…UAn=n,且P(A:)> 0,i=1,2,
",n,则对任意的事件B二，P(B)> 0,有
P(AB)-P(AP(BA-PCAP(A...
P(B)
P(A)P(BIA)
(1)已知某地区烟民的肺癌发病率为1%，先用低剂量C进行肺癌筛查，医学研究表明，
化验结果是存在错误的.已知患有肺癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没有患肺癌
的人其化验结果99%呈阴性（无病），现某烟民的检验结果为阳性，请问他真的患肺癌的概
率是多少？
()为了确保诊断无说，-·般对第一次检查呈阳性的烟民进行复诊，复诊时，此人患肺癌
的概率就不再是1%，这是因为第一次检查呈阳性，所以对其患肺癌的概率进行修正，因此
将用贝叶斯公式求出来的概率作为修正概率，请问如果该烟民第二次检查还是星阳性，则
他真的患肺癌的概率是多少？
21.(本小题满分12分)】
已知f(r)=e-tr,x∈R
(1)函数f(x)有且仅有一个零点，求：的取值范围，
(2)当=1时，证明：3c(a,b)(其中a> 0,使得⑥二f@=e-1.
b-a
22.(本小题满分12分)
历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年一公元前325年），大筠100年
后，阿波罗尼斯更详尽，系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些阿锥曲线的光学
性质：如图1，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一
个焦点，其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，已知椭圆C的中心在坐
标原点，焦点为F,(c,0),F(c0)(c> 0),若由发出的光线经椭圆两次反射后回到F经
过的路程为8.对于椭圆C上除顶点外的任意一点P,椭圆在点P处的切线为l,F1在1上的
射影为H,其中OH引=2√2.
法线
切
图1
图2
(1)求椭圆C的方程：
(2)如图2，过F作斜率为(> 0)的宜线m与椭圆C相交于A,B两点（点A在x轴上方），
点M,N是椭圆上异于A,B的两点，MF2,NF:分别平分∠AMB和∠ANB,若△MFN
外接圆的面积为豐，求直线m的方程，