河北省保定市2022-2023学年高三下学期一模数学试题+答案

2023年高三第一次模拟考试
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号填写在
答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“贴条形码区”。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案
信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案写在本试卷上无效。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定
区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅
笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4,考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x2-4x+3≤0}，B={一1,0,1,2,3}，则A∩B=
A.{-1,0,1,2}
B.{2,3}
C.{0,1,2}
D.{1,2,3}
2.已知复数之=一2i,则(z一2)2=
A.-8i
B.8i
C.8-8i
D.8+8i
3.设a,B是两个不同的平面，则“a内有无数条直线与B平行”是“a∥P”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.保定市主城区开展提升城市“新颜值”行动以来，有一街边旧房拆除后，打算改建
成矩形花圃ABCD,中间划分出直角三角形MPQ区域种玫瑰，直角顶点M在边
AB上，且距离A点5m,距离B点6m,且P、Q两点分别在边BC和AD上，已知
BC=8m,则玫瑰园的最小面积为
A.30m2
B.15m2
C.30√2m
D.15√2m2
5函数)-化的大致图象为
。。一
6.
如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2,侧面PAD是正三角
形，侧面PAD⊥底面ABCD,且Vp-AD=16
3
,则PC
与平面PAD所成角的正切值为
函数f(x)=Asin(wx十p),（A> 0,w> 0,0< p< π)的部分
图象如图中实线所示，图中圆C与∫(x)的图象交于M,
N两点，且M在y轴上，则下说法正确的是
A函数x)的最小正周期是号x
B函数八)在(-受，一号)上单调递减
C函数了(x)的图象向左平移个单位后关于直线x=平对称
D.若圆C的半径为段，则函数x)的解析式为a)-sin(2x+)
已知a=c-1,b=云，c=in子，则
A.a> b> c
B.b> a> c
C.c> b> a
D.a> c> h
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项
、
符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
已知平面向量a=(一2,1)，b=(4,2),c=(2,t),则下列说法正确的是
A.若b⊥c,则t=4
B若a∥c,则t=一1
C若：=1，则向量a在c上的投影向量为-号c
D.若t> 一4，则向量b与c的夹角为锐角
椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另
一个焦点。假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为后+苦-1，
则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程可能为
A.2
B.8
C.10
D.12
沙漏，据《隋志》记载：“漏刻之制，盖始于黄帝”·它是古代的一种计时装置，由
两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器
中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如
图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm,细沙全部在上部
时，其高度为圆锥高度的号（细管长度忽略不计）·假设该沙漏每秒钟漏下
0.02cm的沙，且细沙全部漏人下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙
堆.以下结论正确的是
A.沙漏的侧面积是9√5πcm2
B沙漏中的细沙体积为9“cm
C,细沙全部漏人下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm
D.该沙漏的一个沙时大约是837秒（π≈3.14）
12.如图所示的三角数阵，其中第m行（从上到下），第n列（从左到右）的数表示为
am",且aml=1,当m≥n≥2时，有namn=(m一n十1)a-),则下列说法正确的是
A.a=1
a
B.am=Cm
anan
Ca11a22十a2a3g十aaa4u十…十a(-1m-1)amn< 1(n≥2)
41a红a
D.an1tane十ana十am十…十ann=(2"-1)
***4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.二项式(x十名)°展开式中常数项是
(填数字)
14.写出过抛物线y2=4x上的点P(1,t)且与圆(x一2)2+y2=1相切的一条直线的方程
15.某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课
程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只
能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数
为
16.已知f(x)是函数f(x)在定义域上的导函数，且f(x)十f(x)=e-,f(1)=1,
若函数mf(x)=ln(mx)一x十2(m> 0)在区间(0，十c∞)内存在零点，则实数m的最
小值为
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
已知f(x）=√3 sinw coswr一cos2awz(aw> 0)的最小正周期为π.
()求f()的值；
(2)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若(2a一c)cosB=bcosC,
求角B的大小以及f(A)的取值范围，
18.(12分)
已知a1,a2一a1,as一a2,…,am一aw-1(n≥2)是以1为首项，1为公差的等差
数列.
(1)求a.的通项公式；
(2)求数列{(cosnπ)an}前2n项的和Sm·
19.
(12分)
如图，平行六面体ABCD一A1B1CD1的所有棱长均为W2,底面ABCD为正方形，
∠AAB=∠AAD=号，点E为BB:的中点，点F为CC的中点，动点P在平面
ABCD内.
B
(1)若O为AC中点，求证AO⊥AO:
(2)若FP∥平面DAE,求线段CP长度的最小值.
20.(12分)
在过去三年防疫攻坚战中，我国的中医中药起到了举世瞩目的作用，某公司收到国
家药品监督管理局签发的散寒化湿颗粒《药品注册证书》，散寒化湿颗粒是依据第六版
至第九版《新型冠状病毒肺炎诊疗方案》中的“寒湿疫方”研制的中药新药，初期为试
验这种新药对新冠病毒的有效率，把该药分发给患有相关疾病的志愿者服用.
(1)若10位志愿者中恰有6人服药后有效，从这10位患者中选取3人，以表示
选取的人中服药后有效的人数，求的分布列和数学期望；
(2)若有3组志愿者参加试验，甲，乙，丙组志愿者人数分别占总数的40%，
32%,28%,服药后，甲组的有效率为64%，乙组的有效率为75%，丙组的有效率为
80%,从中任意选取一人，发现新药对其有效，计算他来自乙组的概率·
21.(12分)
如图，双曲线的中心在原点，焦距为2√7，左、右顶点分别为A,B,曲线C是以
双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为亏的椭圆，设P在第一象限且在双曲
线上，直线BP交椭圆于点M,直线AP与椭圆交于另一点N.
(1)求椭圆及双曲线的标准方程：
(2)设MN与x轴交于点T,是否存在点P使得
xP=4xr(其中xP,xr为点P,T的横坐标)，若存
在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由·
22.(12分)
已知函数f(x)=sinx一aln(x+l).
(1)当a=1时，证明：当x∈[0,1]时，f(x)≥0：
(2)当x∈[0，π]时，f(x)≤2e一2恒成立，求a的取值范围.